Geometri dan Transformasi
BAB II
PEMBAHASAN
1. Geometri dan Transformasi
Geometri berasal dari bahasa Yunani yaitu geo
yang artinya bumi dan metri yang artinya mengukur.
Geometri adalah ilmu tentang
bangun-bangun yang ada hubugannya antara titik, garis dan bidang. Geometri adalah cabang Matematika yang pertama
kali diperkenalkan oleh Thales (624-547 SM) yang berkenaan dengan relasi ruang.
Sedangkan Transformasi adalah suatu operasi yang
memetakan setiap titik pada bidang Cartesius ketitik lainnya kepada bidang tersebut.
Dalam kehidupan
sehari-hari juga sering kita lakukan antara lain menggeser piring, gelas,
kompor dll. Gerakan yang dilakukan pada aktivitas tersebut dalam matematika
dikatakan melakukan gerak paralel atau gerak sejajar atau translasi. Translasi
adalah suatu
Geometri Transformasi menunjukan bangun-bangun berubah kedudukan
dan ukurannya menurut aturan tertentu. Beberapa Transformasi
matematis yang paling umum adalah Translasi (pergeseran), Rotasi (perputaran),
Refleksi(pencerminan), dan Dilatasi (
perbesaran/perkecilan).
Suatu
transformasi biasanya disimbolkan dengan t
misalnya oleh suatu Transformasi t titik P(x,y) ditetapkan ketitik
P’(x’,y’) dan ditulis P(x,y)
à P’(x’,y’) maka titik P(x,y)
disebut t
titik asal dan titik
P’(x’,y’)
disebut bayangan. Transformasi tersebut dapat juga dituliskan dalam bentuk (x’,y’)
= t(x,y).
a.
Macam-macam Transformasi
1. Translasi (pergeseran)
Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan
setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah yang tetap.
Contoh : pergeseran buah-buah catur pada papan catur
dalam permainan catur.
Dalam bentuk persamaan, suatu translasi dapat dituliskan
sebagai berikut
X’
= x + a
Y’
= y + b
Pernyataan diatas diilustrasikan bahwa setiap absis
bergeser sejauh a satuan sejajar
sumbu X dan setiap ordinat bergeser sejauh b
satuan sejajar sumbu Y.
2. Rotasi (perputaran)
Rotasi adalah suatu transformasi yang memetakan setiap
titik pada bidang titik tertentu. Titik tersebut disebut titik pusat dan
biasanya digunakan titik asal O(0,0). Rotasi dengan arah berlawanan arah
putaran jarum jam disebut rotasi positiv begitu pula sebaliknya. Dalam
transformasi rotasi perlu diperhatikan hal-hal berikut :
a.
Titik pusat rotasi
b.
Besarnya sudut rotasi
c.
Arah rotasi
3. Refleksi (pencerminan)
Refleksi atau pencerminan adalah transformasi linear,
sehingga tiap titik dicerminkan terhadap suatu garis lurus. Garis lurus yang
dianggap sebagai cermin yang disebut sumbu pencerminan. Dalam transformasi
pencerminan menggunakan matriks untuk menyatakan transformasi yang disimbolkan
dengan M. untuk menentukan matriks
tersebut tentukan bayangan titik (1,0) dan (0,1) oleh pencerminan yang
bersangkutan.
4. Dilatasi (perbesaran/perkecilan)
Dilatasi adalah transformasi dengan sembarang titik P dan bayangannya P’’terletak pada satu garis lurus (kolinear) dari sebuah titik
tetap. Contohnya adalah air kolam dijatuhkan sebuah batu kedalamnya, maka air
tersebut akan berbentuk gelombang yang semakin membesar.
b.
Komposisi Transformasi
Komposisi Transformasi
adalah transformasi yang digunakan secara berurutan. Komposisi transformasi
dapat berupa transformasi sejenis atau berbeda jenis.
Contoh :
1.
Translasi 2cm ke kanan dilanjutkan translasi 7cm ke kanan akan merupakan translasi 9cm ke kanan.
2.
Rotasi 30o dengan pusat P searah
jarum jam dilanjutkan oleh rotasi 75o dengan pusat P searah jarum jam adalah rotasi dengan
pusat P, 105o searah jarum jam.
Dapat disimpulkan bahwa :
1.
Komposisi 2 translasi adalah translasi
2.
Komposisi 2 rotasi sepusat adalah rotasi dengan pusat yang sama.
3.
Cerminan dilanjutkan dengan
cerminan yang sepusat.
c. Macam-macam Geometri
1. Deret Geometri
Deret geometri
adalah barisan bilangan-bilangan yang setiap bilangannya setelah bilangan pertama
diperoleh dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan konstanta yang disebut Rasio.
Jadi, 5,
10, 20, 40, 80, . . .adalah deret Geometri yang setiap bilangannya diperoleh dengan
mengalikan bilangan sebelumnya dengan 2.
2. Rumus untuk deret Geometri
1) suku ken atau suku terakhir : l =
arn-1
2) jumlah n suku pertama : s = a ( r n -1 ) =
, r
1
Di mana a = suku pertama ; r =n = banyaknya suku;
l = suku ke
n atau suku terakhir ; s
= jumlah n suku pertama.
Contoh ,pandang deret geometri 5, 10,
20, . . . .
Dimana a
= 5 dan r =
=
= 2.
Suku
ke tujuh adalah l = arn-1 = 5 ( 27-1 ) = 5 ( 26 )
= 320.
Jumlah tujuh suku pertama adalah s =
= 635.
Contoh soal :
Jika
Un suku ke-n dari sutu deret geometri dengan U1 = x1/3 dan U2 = x1/2, maka suku ke lima
dari deret tersebut adalah
a. x3
b. x2
c. x
penyelesaian :
r = U2/U1
= x1/2 : x1/3 = x (1/2-1/3) = x1/6
U5 = a.
(r)4
U5 = x1/3
.x4/6
U5 = x
6/6 = x (jawaban c)
3.Deret geometri tak terhingga.
Jumlah dengan banyak suku sampai tak berhingga dari sebarang
deret geometri yang rasionya r secara numeric kurang dari 1 di berikan oleh.
S
=
‘ dimana
।r
।<
1.
Contoh ,pandang deret
geometri tak terhingga 1 -
+
+
+
. . . . di mana a = 1 dan, r =
-
jumlah dengan banyak suku sampai tak
berhingga adalah S
=
=
=
=
4. Jenis – jenis Sudut geometri
·
Sudut lancip •sudut
siku – siku
a a
0
<a
< 90
a = 90
·
Sudut tumpul • sudut
lurus
a a
• sudut
reflex •
sudut putaran penuh
a a
•
180
<a
< 360
a = 360
BAB III
PENUTUP
KESIMPULAN
Geometri adalah ilmu tentang
bangun-bangun yang ada hubugannya antara titik, garis dan bidang. Geometri adalah cabang Matematika yang pertama
kali diperkenalkan oleh Thales (624-547 SM) yang berkenaan dengan relasi ruang.
Sedangkan Transformasi adalah suatu operasi yang
memetakan setiap titik pada bidang Cartesius ketitik lainnya kepada bidang tersebut.
v
Geometri
dibagi menjadi dua, yaitu :
1. Deret Geometri:
1)
suku ke n atau suku terakhir : l = arn-1
2)
jumlah n suku pertama : s = a ( r
n -1 ) =
,
r
1
2.
Geometri Tak Berhingga:
S
=
‘ dimana।r ।< 1.
v Tranformasi
dibagi menjadi empat, yaitu :
1.
Translasi
2.
Rotasi
3.
Refleksi
4.
Dilatasi
diposting oleh Siti Lia Yuliana @ 00.00
0 Komentar
